angulos: arcos y sus medidas

Ángulos: Arcos y sus medidas


Grados y radianesLas unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia

180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

90º = 1/4 de vuelta

1º = 1/360 de vuelta, etc.






También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados. La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes. Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2 * r = 2), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29º a partir de esta igualdad, determinamos que:90º = /2 radianes60º = /3 radianes45º = /4 radianes30º = /6 radianes

teorema de pitagoras

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?
(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

*PITÁGORAS.
Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
a2 + b2 = c2

**PLATÓN.
La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

***EUCLIDES.
La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.
La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º (grados sexagesimales) o π/2 radianes.

Contenido[ocultar]
1 Nombre de sus lados
2 Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
3 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
4 Área de un triángulo rectángulo
5 Véase también
6 Enlaces externos

1._ Nombre de sus lados:
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
La suma de sus angulos es igual a 180 grados.

2._ Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
, es decir:
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.

3._Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

4._Área de un triángulo rectángulo

Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal.

donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo citado.
Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.